Me uno a las recomendaciones:
Para comer, los michirones, arroz caldero (con ajo está de muerte), conejo al ajo cabañil. De postre arrope con helado y para la sobremesa un buen asiático (café con licor).
Para visitar, el Teatro Romano (cómo no), la Muralla Púnica, el Museo Arqueológico Marítimo…
Para darte un paseo, el centro de la ciudad, Calle del Carmen - Puertas de Murcia - Calle Mayor - Calle del Aire - Calle Jara - Puerto de Cartagena - Ayuntamiento, (es la Cartagena Modernista).
Para salir por la noche, como ya te han dicho, la "Calle de los Pijos", el Puerto...
Yo sí te recomiendo La Manga del Mar Menor, es un lugar único, un brazo de mar bañado por dos mares diferentes (desde Cabo de Palos se aprecia genial La Manga), aunque es cierto que La Azohía tiene playas más bonitas.
Un saludo y disfruta de Cartagena, que es una ciudad histórica