Posiblemente sea por que el adaptador solo traduce la respuesta de botones analógicos. Yo tengo otro adaptador y me pasa que los mandos de ps2 van bien pero tengo uno original de psx y solo funciona la cruceta, los botones no. Esto curiosamente solo me pasa en la xbox, en el pc si que funciona. Creo que esto es por que la xbox directamente espera una respuesta analógica desde el mando.
Si te das cuenta en el max shooter pone esto
● Connect PS2 compatible controllers to your XBOX 360
● Compatible with PS2 joypads, light guns, racing wheels, dancing mats & more
Solo habla de ps2 que resulta que son analógicos no de psx que son digitales.
Seguramente si quieres un arcade stick para xbox vas a tener o que pillar uno original de esa plataforma o bien hacertelo tu hackeando un pad.
Un saludo!