Lo típico: Casa Battlo, Sagrada familia, La Pedrera, Parc Güell, Las Ramblas, Port Vell, Mercat La Boqueria, etc.
Barrios: yo personalmente te recomiendo el Born, por la noche es un sitio espectacular, hay mucho ambiente, bares, restaurantes, gente joven, etc.
Para cenar, en las callejuelas del centro de Barcelona (entre vía laietana y portal de l'angel) hay muchos sitios muy buenos, ejemplo: un japonés que fui el otro día (lugar muy pequeño) y salí encantado.
Tascas: en c/ fabra i Puig hacen unas tapas muy muy buenas. Recomendadisimo. "La Esquinica"
Pd: chorradas inside.