Lo que preguntas depende de cada concurso, tienes que leer sus bases. Hay algunos que te impiden tener la obra presentada a otros, otros te lo permiten, pero te piden que avises si ganas uno diferente, ya que no permiten ganarlo si ya ganaste otro, lo cual tiene sentido porque generalmente publican tu obra.
Hay que tener cuidado con las bases, algunas son justas y están bien, otras son desde mi punto de vista inaceptables. Por ejemplo vi algún caso en el que la editorial se queda con los derechos de publicación de tu obra por tiempo indefinido en todos los idiomas, siendo editoriales que solo publican en un idioma, por lo que al final queda en sus manos que puedas publicar tu obra en cualquier formato, idioma, etc.
Por otro lado está la confianza que tengas en ellos, algunos son muy sospechosos, siempre ganan los mismos, gana un autor, el concurso impide que ese autor se vuelva a presentar un número determinado de años, y justo cuando pasan vuelve a ganar ese... todo muy sospechoso.
Se dio un caso de un concurso (de fotografía en este caso) bastante famoso, en el que el ganador incumplía las bases, que indicaban que la obra debía ser inédita, ya que llevaba varios meses en salas de exposición. Se denunció el caso, pero no le retiraron el premio...
Mi confianza en los concursos actualmente es nula (aunque sí los hay decentes). Participé en algunos con un poemario, pero después escribí una novela, y opté por la autopublicación; te lo tienes que currar tú todo, pero bueno... ahí cada quien con lo que decida.