Si la bateria esta dañada, no tiene porque afectar al wlan, lo logico es que la bateria se descargara mas rapido o te funcionara mal, parece mas un fallo de la propia consola, si tienes a alguien conocido con una psp pidele que te preste su bateria y prueba a ver si te pasa lo mismo.
Como has dicho tu mismo "cada cierto tiempo se apaga sola" entonces seguramente si te hayas cargado la bateria.