Directamente no, no puedes.
Para poder usar tu lector en otra xbox, primero tienes que conseguir la key del lector de esa xbox (la nueva se entiende). Una vez que la consigas, ya es facil meterle un firmware nuevo al lector que te compraste o al que ya tenias.
En definitiva, cambio directo no se puede, pro lo que tendras que actualizarle firmware a uno a otro de todas formas.
Un saludo.