Lo primero es empadronarte. Con el empadronamiento vas a la Oficina de la Seguridad Social y cambias los datos. Lo del paro tendrías que preguntarlo en tu oficina, pero se suele solucionar con ir con el padrón y cambiar la dirección. Si quieres cambiar tu medico de cabecera tienes que ir al ambulatorio de tu nuevo barrio y decirles que quieres que ten de alta en ese municipio (te pedirán el empadronamiento, again).
Por cierto, para empadronarte lleva el dni original y una fotocopia, y si vives de alquiler el contrato de piso (con la fotocopia suele servir). En la oficina a la que voy yo, tarda como media hora cuando hay mucha gente, sino en 5 minutos.