Transmitir a 1080p y 60 fps es algo ya bastante estandarizado en capturadoras así que si buscas algo baratito cualquiera de las chinas te va a dar lo que quieres aunque siempre viene bien leer las especificaciones
Ya si quieres mas calidad y dispones de 100 euros o mas de presupuesto puedes ir por algún modelo de la marca Avermedia que todas permiten hacer streaming a 1080p y 60fps y capturan el video igual a 1080p y 60 fps
El modelo Live Gamer Mini creo que es el mas económico y ronda los 100 euros, la Live Gamer Portable 2 creo que es la mas popular por su función sin PC y ronda los 150 euros y la Live Gamer Extreme 3 ya es de mayores prestaciones con grabacion y streaming a 4K y ronda los 200 euros y entre todas estas encontraras mas modelos y precios que seguramente alguno se adaptara a lo que buscas