La PSP no tiene conexión interna directa entre el USB y la toma de corriente, por lo que no hay manera de cargarla a través de esa conexión. Hay cables especiales que conectan el usb del ordenador a la entrada de corriente de la PSP, de esta forma se puede cargar usando el ordenador, pero es mucho más lento.
Por lo del cable "no oficial" no te preocupes, son todos prácticamente iguales.