Es probable como dicen los compañeros que se trate del propio sistema de llenado. Por si acaso apunto algunas cosas más:
La más básica: si gotea al llenarse, podría ser también el "cable" que conecta la toma de agua con la cisterna, al salir a demasiada presión, en cuyo caso se solucionaría el asunto bajando un poco la presión regulando el grifo.
Si la cisterna gotea por abajo, pudieran ser los tornillos que sujetan la cisterna al inodoro, que llevan unas gomas que sellan esa parte, pero que lógicamente con el paso de los años, pueden picarse.