Bueno, me quedo con lo que he encontrado más tolerable: de normal tengo instalados Firefox y Chromium, como principal utilizo Firefox y para lo que quería de Twitter he usado lo de las aplicaciones de Chromium. Al entrar a Twitter ya te pregunta para hacerlo, aunque el tema en sí tampoco es nada, simplemente automatiza un poco el asunto con un enlace y una ventana independiente para Twitter.
La experiencia es la que quería, al final tengo un icono que abre una ventana vertical apartada a un lado para ir recibiendo el feed. El proceso también es independiente a Firefox, que está bien ya que prefiero no tener sesiones innecesariamente abiertas que sirvan para hacer tracking o lo que sea.
Lo que no me convence es tener que iniciar Chromium expresamente para esto, la acción es transparente pero el proceso está ahí y ligero no es, mucho consumo sólo para esto. Tampoco me gusta tener expuesta la sesión para los momentos en los que uso Chromium, si no quisiera tendría que desconectar o poner algún invento para aislarla.
Gracias por las sugerencias