Puedes tener los dos conectados a la vez, yo lo tengo así. Pero rara vez quiero ver el monitor y la TV a la vez, más que nada porque hay una pared en medio xDD
Si usas windows hay un atajo de teclado muy cómodo que es "Tecla Windows + P" y alterna entre cuatro modos (solo monitor principal, solo monitor secundario, escritorio extendido y pantallas duplicadas).
¿Que quieres jugar en la tele? Lo pones que solo se vea en la tele. El monitor es como si no existiera.
Que quieres trabajar, lo pones en solo monitor. La tele es como si no existiera.
Que necesitas las dos a la vez para ver más información, extendido.
Cada modo recuerda su configuración, así que no hay problema. Como digo, lo uso con un monitor 2K y una tele 1080p, jugando en la tele claro.