Si fuera la pila verías síntomas bastante claros de ello, en particular más que no dar imagen, se encendería y saldría algo tipo "CMOS checksum failure" si no directamente un mensaje de error que te dice que la pila está gastada.
Normalmente estos fallos vienen por condensadores viejos en la placa base o en la fuente, que ya no tienen la capacidad (ni la ESR, ni nada) que deberían tener, mientras están cargados poco más o menos cumplen, pero si se vacían del todo (cuando el PC pasa mucho tiempo desconectado de la corriente, ya que algunos están alimentados incluso con el PC apagado con la línea +5VSB) ya no vuelven a hacer su función hasta que no enciendes y apagas 40 veces mientras saltas a la pata coja iluminado por la luz del sol reflejada en saturno.
Tiene mala solución. Personalmente no me pondría a cambiar condensadores, porque es dar palos de ciego y te vas a gastar potencialmente más de lo que valen los propios componentes en hardware de punto limpio. Si tienes la opción, déjalos enchufados, el consumo en standby de un ordenador es realmente bajo (en torno a 1-5W) y te quitas de problemas. De paso así no se gasta la pila.
Saludos