No tengo el Moga Pro Power, pero sí el Hero Power (que es la versión más portátil de la misma línea) y la verdad es que no tengo ninguno de los problemas que comentas. Lo que yo hago, por si sirve de algo, es sincronizarlo en modo B desde los ajustes de Bluetooth de Android, no utilizo la app de Moga para nada.
Respecto a la app Moga Universal Controller, decir que es solo para los modelos antiguos (Moga Pocket y Moga Pro -sin Power-), los nuevos no la necesitan. En cuanto a compatibilidad con juegos y emuladores, mi Moga Hero Power se ha tragado todo lo que le he echado encima y ha funcionado sin problema tanto en mis Nexus 4 y 6 como en el Huawei P8 Lite de un amigo y el LG G3 de su novia.
Es, junto con el NES 30 Pro de 8bitdo, el mando que mejor compatibilidad me ha dado por el momento.
Como sugerencia, aparte de lo ya dicho, intenta eliminar todo rastro del mando en los ajustes de Bluetooth y empieza desde cero a sincronizarlo y tal, que a veces haciendo eso mágicamente se resuelven muchos conflictos de algunos mandos Bluetooth.