Si, se puede.
Yo recuperé el Gamertag que tenía en una Xbox 1.
Lo puedes hacer desde la opción "Recuperar Gamertag" de la Xbox 360. Te pedirá que te crees una cuenta passport con cualquier dirección de correo y también te pedirá algunos datos de la anterior cuenta (Nombre y apellidos, código postal, teléfono y cuatro últimos dígitos de la tarjeta de crédito). Eso si, estos datos apúntalos tal y como los tienes configurados y escritos en la Xbox 1 porque si no no funcionará.
Una vez hayas migrado a la 360 sólo podrás gestionar el perfil del Gamertag desde la 360, aunque lo podrás seguir usando también en la Xbox 1.
Lo otro ya te lo han contestado, pero vamos, efectivamente si el juego de Xbox 1 es compatible en 360 podrás jugar en línea desde la misma.
Salu2!