Es software libre, no software gratuito. Recuerda las 4 libertades del software, no tienes ningún problema por redistribuirlo en el CD de instalación de tu aplicación.
De lo que sí tienes que estar pendiente es de que el código que enlaces (las librerías que uses) no sea GPL (sí te sirven librerías con licencias LGPL, BSD, MIT,...). Si sólo utilizas PostgreSQL (BSD) no tienes problema ninguno. Lo que no puedes es enlazar a librerías GPL (MySQL, QT, ...).
Pero ojo, que si utilizas software LGPL sigues estando obligado a devolver a la comunidad las modificaciones que le hagas, la única diferencia con GPL es que se permite el enlazado dinámico con código no-GPL.
Tampoco estás obligado a dar crédito al software que utilizas, aunque por cortesía deberías hacerlo. Yo lo pondría junto al texto de licencia de tu software ("Se utiliza el motor de base de datos PostgreSQL © The PostgreSQL Global Development Group").
La licencia BSD original, con la que se licenciaba PostgreSQL originalmente, obligaba a dar crédito al poseedor del copyright del software utilizado en "lugares visibles" del producto, pero ya no.
Respecto al tema del copyright, es tuyo automáticamente, aunque deberías especificarlo en un fichero de licencia y en tu aplicación. Lo dificil sería poder demostrarlo en caso de litigio. Eso es muy fácil de hacer con software libre porque lo publicas en internet y es fácil demostrar que ese software es mas antiguo que el que te ha copiado. Con software propietario tampoco me preocuparía, ya que al no disponer del código fuente el que te copiara no creo que pueda hacer mucho para hacer creer que es obra suya.
Pues ale, suerte con la aplicación ¡y devuelve algo a la comunidad!.