Te explico todo el proceso, perdón por el tocho:
A los 12 meses recibirá una carta del INSS citándole al la inspección médica. Éste decidirá entre tres opciones: alta médica (por lo que comentas me parece poco probable), iniciar un procedimiento de Incapacidad Permanente (estando pendiente de operación, aún menos probable), o dar una prórroga de IT (aparentemente lo más probable en tu caso). A partir de esos 12 meses, y suponiendo que se le da prórroga, el control de la IT pasa a ser en exclusiva del INSS y su médico de cabecera ni pinchará ni cortará. Normalmente le citarán cada 2 meses, aunque depende de la dolencia.
El siguiente "corte legal", por llamarlo de otra manera, viene a los 18 meses. Ese es el tiempo máximo ordinario de baja, y una vez alcanzado, sí se iniciará un procedimiento de Incapacidad Permanente, sí o sí (no significa que se conceda). Lo iniciará de oficio el INSS, y recibirás una carta pidiendo que facilites varios datos y documentación así como una nueva cita para la inspección médica, normalmente. El caso volverá a la comisión y ahí tendrá dos opciones "ordinarias": aprobación de IP en el grado que corresponda o denegación de la misma, que corta automáticamente la IT. Hay una tercera opción, teóricamente extraordinaria, pero que es relativamente habitual sobretodo si estás pendiente de una operación: lo que se llama "demora de calificación". Esto puede durar, en principio, hasta los 24 meses y está pensado para cuando las molestias son incapacitantes pero no permanentes. Estos últimos 6 meses percibirías la IT y mantendrías la reserva de puesto de trabajo pero, ojo, no cotizarán por tí (te ofrecerán suscribir un convenio especial con la TGSS, a tu cargo). Si está más o menos cerca o cree que va a ir justa para la posterior jubilación es un dato que mucha gente no conoce.
Espero haberte aclarado alguna cosa. De todos modos, estando aún en los 7 meses, es tal vez un poco pronto para preocuparse.
Sobre lo del hospital concertado, lo que ya te dijo el compañero: en principio no debería costarte un euro, pues precisamente implica que el Sistema Público de Salud de tu CCAA tiene un acuerdo con ese hospital privado para atender a X número de pacientes para cubrir un déficit de medios propios. Es como los coles de los chiquillos, son privados, pero no los paga el usuario, los paga la administración.