/ demasiado lleno

Con los datos que das es complicado ayudarte pero por decir algo comprueba que no tengas en tmp algún archivo temporal demasiado grande.

Hay diversos comandos y tal pero..., normalmente el programa baobab es tu amigo. Perfecto para localizar aquellas carpetas que engordan demasiado y hacer un análisis gráfico y comodamente.

Tamaño del directorio? Te has asegurado de que no esté en la misma partición que la /home? Engorda conforme vas usando el equipo?

Como te ha comentado blackgem el analizador de discos o baobab es tu amigo. Con el veras cual es la carpeta que ha engordado.

Si no tienes espacio posiblemente no te dejará entrar el modo gráfico sin borrar cosas puedes ver las carpetas que mas llenas esten desde terminal/consola.
(sin las comillas) te mostrará las carpetas de la raiz y lo que ocupa cada una, a partir de ahí ya vas indagando hasta dar con la carpeta en cuestión
"du -bsh /"

si quieres algo mas "bonito" puedes instalar ncdu
sudo apt-get install ncdu

es como el baobab pero en terminal, pudiendo navegar entre carpetas, muy util

si ha sido de un dia para otro sin tu guardar nada, apostaría a que es por algún log:
(he llegado a ver archivos de log de errores de alguna impresora/disco en red... de 40gb que se han generado de un dia para otro)
/var/log

Siento por la tardanza y muchas gracias por las respuestas. Finalmente he tirado del comando find buscando ficheros de >100MB. Era un log relacionado con el programa lighttpd difícil de acceder, me apuntare los programas que me habéis comentado para ahorrarme quebraderos de cabeza en el futuro.

Puedes mover el archivo swap, si lo tienes como archivo a otro disco donde tenga mas espacio libre.