A mi hace tiempo me ocurría justamente eso. Me cerraba sesión al minuto, más o menos, de estar conectado. Tenía IP estática igual que tú.
Al final resulta que mi hijo había configurado un ordenador con la misma dirección IP que la consola. La PS3, si detecta que hay otro dispositivo con la misma IP, no te dá ningún mensaje de aviso; simplemente, te desconecta. Te cierra sesión.
Asegúrate de que no tienes nada conectado al router. Únicamente la consola. Desconecta todos los cable Ethernet que lleguen al router, excepto el de la PS3.
Asegúrate de que nadie se conecta por Wifi al router. Para asegurarte totalmente, desactiva el WIFI desde la configuración interna del router. No vaya a ser que tengas a alguien conectado (un vecino) sin que lo sepas.
Una vez hecho esto, prueba la PS3. Si sigue fallando, no es un tema de IPs. Es otra cosa.