¿Es sumergible o "water resistant" el reloj? En ese caso, lo puedes limpiar con una esponja suave, agua templada y un poco de jabón neutro, aclarar con agua, y secar bien. Una forma más delicada aún de limpiarlo es usar un cepillo de dientes suave en vez de esponja.
Mientras lo limpies no presiones ningún botón.
De todos modos si te preocupa el asunto de la higiene de los relojes, mi recomendación es que uses un reloj construido completamente en acero inoxidable (a veces denominado "acero quirúrgico") que además sea resistente al agua o sumergible, ya que el acero inoxidable se puede higienizar con seguridad sin que se dañe.