Duda con el INEM

A ver, os planteo una duda porque en mi casa me están volviendo loca con el tema.

Resulta que se me ha finalizado el contrato en el trabajo en el que estaba, llevaba 9 meses trabajando y antes no había trabajado en nada más, bueno... estuve 2 días en otro trabajo.
La cuestión es que en mi casa dicen que tengo que ir al INEM a entregar los papeles que me dieron con el finiquito, que son: una especie de carta de despido, el detalle de la liquidación (finiquito) y un certificado de empresa, pero yo creo que este último es para cobrar el paro.

Como comento, en mi casa dicen que si no llevo estos papeles al INEM no me van a reconocer la antigüedad en el trabajo... vamos, si no entiendo mal, me vienen a decir que en el INEM no saben que he trabajado? no sé, estoy perdida, una ayudita... ¿es o no es necesario que vaya al paro y entregue algún papel?