Cuando solicitas una prestación o subsidio por desempleo, como ha sido tu caso, el contador de días cotizados se pone a cero, por lo que ahora mismo solamente se tendrá en cuenta todo lo que hayas cotizado después de la ayuda familiar.
Por otra parte, dices que en tu último trabajo estabas a jornada parcial. En el certificado de empresa debe figurar cómo se organizaba tu horario semanal. Esto es importante, puesto que no es lo mismo que hayas estado trabajando de lunes a viernes cuatro horas, como parece ser tu caso, a que hayas estado trabajando dos días ocho horas y otro cuatro.
Para el cálculo de días cotizados cuenta cada día que hayas ido a trabajar, aunque sea solamente media hora, y se multiplica por el factor de descanso semanal 1,4. Es decir, si en el certificado de empresa figura que trabajabas cinco días a la semana, es equivalente a trabajar a jornada completa a efectos de duracíón de la prestación por desempleo.
Por el contrario, si en el certificado de empresa figurase que solamente trabajabas 3 días a la semana, el total de días cotizados se vería reducido.
De todas formas, con los datos que das, andas por los 500 días, por lo que tendrías derecho a cuatro meses de paro. Si llegases a 540 días cotizados, te corresponderían seis meses de paro.
Necesitas llevar el certificado de empresa, quizás también la comunicación de fin de contrato o de despido, el DNI, un certificado bancario de una cuenta de la que seas titular, y rellenar la solicitud que te den allí.