Lo he intentado y me ha salido que la distancia es 2/sqrt(3) (ó 2*sqrt(3)/3 ) ... :| hace tiempo que no hago este tipo de problemas así que n.p.i. de dónde puedo haberme equivocado xD. De todas formas te pongo lo que he hecho:
Si el plano es x+y-z=0 su vector normal será (1,1,-1) así que una recta perpendicular al plano y que pase por Q=(2,2,2) será
r: (x,y,z) = (2,2,2)+ λ·(1,1,-1)
La distancia de P a Q será el módulo del vector que vaya de Q al punto de r que pase por P, Q'. Resuelvo el sistema que me queda juntando la ecuación de la recta y del plano (4 incógnitas: λ y las 3 coordenadas de Q').
Me sale que Q'=(4/3,4/3,8/3) ; calculo Q-Q', hago el módulo y me da 2sqrt(3)/3=2/sqrt(3)
No sé si te es de ayuda, pero en fin, suerte xD!