El ejercicio (a mi parecer se ve muy sencillo) si lo operas con vectores.
a) El espacio de todos los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales, E, lo podemos expresar como combinación lineal de los siguientes elementos:
(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1), que los llamaremos e_i para i desde 1 hasta 4.
Podemos interpretar e_1 como el término independiente, e_2 como la componente del coeficiente de primer grado, etc.
En esta base un polinomio cualquiera como x + 3x^2 se expresaría como (0,1,3,0).
Es decir, resumiendo tenemos una base del espacio. Tenemos que demostrar que S + T generan el mismo espacio:
S = <{ (0,0,1,1), (2,1,0,1)}>
T = <{ (1,0,0,0), (0,0,1,0)}>
Para ello basta ver que los vectores que generan S y T son independientes, es decir la dimensión del espacio generado es dim S + dim T
b) q(x) 3+x+2+^2¿? Supongo que has querido poner 3+x+2x^2 equiv (3,1,2,0)
De cabeza se ve que es: ( 2,1,-1,0 ) + ( 1,0,3,0 ).
Si no te convence, podrías probar a decir a * s_1 * b * s_2 + c * t_1 + d * t_2 = (3,1,2,0) donde a,b,c,d pertenecen a los reales y s_i, t_i representan los vectores generatrices de S y T respectivamente. Tras pegarte un rato consigues algo similar a lo que he conseguido utilizando la cuenta la vieja xD
PD: El verano me sienta muy mal... ¿alguno recuerda qué nombre recibía la regla que nos decia la dimensión de la suma de dos espacios vectoriales? (Esa que ya habéis mencionado en el hilo)
PD2: Y ya de paso... había otro teorema que nos decía en qué condiciones podíamos sustituir un vector de una base por otro sin que se perdiera ningún elemento... ¿recordáis el nombre?
EDIT: Fórmula de Grassman y Teorema de Steinitz eran los nombres que buscaba
Nunca está de más hacer algún apunte así en los exámenes y meter paja donde sea necesario.
