Duda matemáticas: ln(i^i)

El Ln(i^i) se me ocurre que puede ser así:

Ln(i^i) = i Ln(i)

Ahora, por la definición de logaritmo, por ejemplo el log base 10 de 100 es igual a 2 porque 10^2=100.
De forma análoga, el log base e de i es igual a x porque e^x=i.

Si usamos la fórmula de de-Moivre: e^x = cos x + i sen x.

Y como sabemos que e^x = i, por tanto identificando parte real e imaginaria con de-Moivre, vemos que i sen x = i, por tanto sen x = 1, lo que quiere decir que x = pi/2 +2 k pi.

Volviendo al principio, Ln(i^i) = i Ln(i) = i (pi/2 + 2 k pi).

saludos

EDITO: upss, me colé, de-Moivre va con e^ix, así que no sería así. Pero debe de ser usando un razonamiento parecido.

Yo lo que haría es:

(i^i) = e^[i (log i)] = e^[-(2Kpi + pi/2)]

Ahora calcularía con eso el logarítmo:

Ln (i^i) = -(2Kpi + pi/2) + i 2piK'

A ver si a alguien más le da lo mismo.

ln(i^i)=i*ln(i). Como i=e^(i*pi/2), esto es igual a i*i*pi/2=-pi/2+2Kpi

Pues de forma parecida a la que te han dicho:

Ln(i^i)= i*Ln(i) Sabiendo que e^(pi/2 +2kpi)*i es i --> i*Ln(i)= i*((pi/2 +2kpi)*i) = (i^2)*(pi/2 +2kpi)= -(pi/2 +2kpi)

Ln(i^i) = -(pi/2 +2kpi) (ademas, si en matlab dibujas la funcion i*Ln(i) dibuja una linea recta que vale -1,57 (-pi/2) que seria el resultado para K=0).

No estoy de acuerdo con lo que hacéis porque estáis escogiendo una rama concreta (K' = iK)

Puesto que: e^(log z) = z, log e^z = z + i 2piK

En concreto:

e^[log(z^a)] = z^a = e^(a logz)

Tomando logarítmos:

log(z^a) = log [e^(a logz)] = a log z + i 2pi K'

Si ahora:
a = i
z = i

log i = i(pi/2 + 2Kpi)
i log i = - (pi/2 + 2Kpi)

Sustituyendo nos queda un K' además de K.
La propiedad log(z^a) = a log z sólo es válida para K' = a K, lo podéis ver escribiendo z^a = r^a e^(i a Argz)

eVaNz escribió:Yo lo que haría es:
(i^i) = e^[i (log i)] = e^[-(2Kpi + pi/2)]

La verdad, los complejos no son lo mio, pero en esa igualdad tuya has usado [i (log i)] = [-(2Kpi + pi/2)] , que es precisamente lo que pide el autor del post, ¿no?

Por cierto, logaritmo no lleva acento

Lo que yo he entendido es que el autor del post pregunta por log (i^i), no por (i log i).

La definición de la función exponencial es:

z^a = e^(a log z)

No puedes hacer log(z^a) = a log z, porque sólo es válida para una elección determinada de las ramas, lo puedes ver tomando logaritmos en la expresión de arriba. Lo he hecho en mi mensaje anterior.

Sin embargo, yo lo hago asi....



Mola. Es lo que dice eVaNz...

(Ya me estaba mosqueando con las demás respuestas xD)

Gracias a todos los que respondieron!