Si usas un Router, tanto para WiFI como para el adaptador LAN, no es necesario tener el CPU prendido todo el tiempo.
Si no tienes Router y usas el adaptador USB-WIFI ahí si es necesario tener el CPU prendido para poder tener internet en el Wii.
PD: Yo uso la Wii con el adaptador LAN, y para tener internet solo conecto un cable de red entre el ROUTER y el LAN ADAPTER, el PC no interviene para nada.