Android Studio tiene la "ventaja" o "inconveniente" (según se mire) de que puede incluir todas las versiones de las API, y casi cada semana se actualiza.
Por defecto en la primera instalación añade la última versión de la API, pero se puede seleccionar cualquier otra anterior. Se puede utilizar la última versión para compilar, e indicar a partir de que versión ha de ser compatible la app. En este caso se podría compilar con la actual API 28, pero indicar que la SDK mínima sea la 22 para Android 5.1.
Los problemas que debes tener seguramente es que tienes proyectos de apps que no se han compilado con las versiones y subversiones que tienes instaladas, y por ello continuamente pide instalar paquetes para el proyecto que quiere abrir.
En principio solo tienes dos soluciones: o instalar todos los paquetes que solicite, o crear nuevos proyectos con las API instaladas y copiar el código del proyecto viejo al nuevo proyecto. Aún así puede seguir dando problemas, y entonces te recomiendo buscar en foros el error que te indica para ver como se puede solucionar.
También es recomendable limpiar el proyecto ("Clean project") antes de compilar para que borre ficheros anteriores.
En appdata están las SDK. Puedes probar de guardarlas, pero no se si vale la pena, ya que si el problema viene justamente de las API del SDK, seguramente seguirías manteniendo el problema, y seria mejor instalar de nuevo.
Suerte,
