si os da ese problema, intentar lo siguiente... desconectar la consola de la red para que entre en modo offline, si lo tenéis por cable es fácil quitandolo. Si os vuelve a pasar aun quitando el cable quizá en algún momento habéis configurado la wifi y tocara hacer los mismo pasos siguientes....
Si habéis configurado wifi, mirar si podéis desconectaros por el menu de ajustes y reiniciar, si no hacer la prueba de apagar un momento el wifi del router (o el router en si) esto deberia hacer que la consola entre en modo offline al no detectar red disponible y no estara intentando en loop logearse ya que los servicios principales de xbox live esta en parte caídos.