No sé si existían flashcarts para GBC, pero de todas formas aún habiendo existido, encontrar uno en la actualidad sería imposible.
De todas formas, creo que existe una solución al problema, y es la combinación de Flashcart GBA + GB Bridge.
El GB Brigde es este tocho de la foto, que se puede conectar a GB, GBC y GBA (no así a GBM, NDS, NDSL), y al que hay que insertarle también un flashcart de GBA (¡OJO! no sé si todos son compatibles con GB Bridge) con las backups de GB y/o GBC.
Desconozco la disponibilidad del GB Bridge en la actualidad, pero a lo mejor tienes suerte y aún lo puedes encontrar en alguna tienda online.