Los Game locales van a pasar del tema totalmente, las ventas a través de la web se gestionan con los de la central; los de la tienda de la esquina (por decir) ni pinchan ni cortan si has comprado una consola vía web.
Respecto a lo que tienes que hacer, es esperar uno o dos días a que te respondan el correo (suelen tardar como mínimo un día) y a ver qué te proponen. Si no te responden al mail, también puedes tirar de teléfono, que creo que anda por ahí un 91 (de Madrid) que no te cobran extra la llamada ni nada.
En todo caso, tú haz copia del recibo de compra (captura de pantalla, impresión del mail, etc) con fecha y tal, y documenta lo que le pasa a la consola (por ejemplo, graba con el móvil lo que le pasa a la consola desde que la enciendas hasta que salga el cartel de "se apagará").
De esa forma, tendrás pruebas si tienes que reclamar. Pero estáte tranquilo, porque tienes garantía por parte de GAME y están obligados a sustituirte/repararte la consola defectuosa como mínimo, y opcionalmente pueden optar por devolverte la pasta.
Si ves que te dan largas, que pasan semanas y no se soluciona, etc tienes que acudir a Consumo con todos los datos disponibles (copia de todos los mails que te hayas cruzado con game, el recibo, el video, etc).
Te darán la razón, sí o sí, tarden lo que tarden. No te preocupes.
Pero vamos, que dudo que GAME se vaya a poner tonto a la hora de gestionar una simple garantía. Tú simplemente tratales con educación, y ya verás como se soluciona todo bien rápido.