eso me suena a que el cable de la pantalla se ha soltado, y es por eso que en ocasiones logra encender.
haz una prueba. enciende la psp, y cuando ya estés en el xmb (por que suena cuando mueves el cursor), agita un poco la consola.
muy probablemente se encenderá en algunos momentos.
busca en el foro o internet por instrucciones para desmontar la psp.
el tema de la pantalla es relativamente fácil de conectar. el cable se encuentra justo detrás de la pantalla, y tiene una pestaña de presión para fijar el cable a la placa.
nota: son 2 cables. el de datos de la pantalla, y el de la retroiluminación (un bus de datos mas grueso, y otro mas fino)