Si no hubiese pasado de 100mbit te habría dicho que quizá el cable te estuviese limitando o que tendrías problemas de no entrar a sincronizar en gigalan. Pero tienes 120mbit... por lo que en teoría en modo gigalan si está.
Como sabes el nombre y marca de la tarjeta de red integrada en placa pienso que deberías probar a pillar los últimos drivers que Realtek tenga para ella.
Tampoco indicas si tienes perdidas de paquetes en la red. Mira a hacer este comando:
ping -t IP_DEL_OTRO_PC
No deberías tener ni perdidas de paquetes, ni apenas variaciones en los tiempos de respuesta.
Y tambien prueba hacia internet
ping -t 8.8.8.8
(8.8.8.8 es la dirección de DNS de Google)