A ver vamos por partes, no he conseguido entender cómo tienes configurada la conexión, a ver si te puedes explicar mejor.
Dices que tienes módem (no router), si tienes módem, es normal que sólo te funcione uno de los dos aparatos simultáneamente, ya que sólo se puede conectar uno a la vez (al menos los que yo conozco).
Si tienes router puedes tener los dos con conexión a internet a la vez.
Por cierto, ¿qué tipo de cable de red usas? depende si va a un router necesitas un cable red normal, pero si tienes la conexión hecha que te la comparta el ordenador necesitas cable cruzado.
Si te da problemas de conexión el router, prueba a desenchufar el router/modem y volverlo a enchufar, y si te sigue dando problemas, será culpa de la conexión, por lo que debes de llamar telefónica, ono, o lo que tengas contratado.
un saludo
