Supongo que sí en vez de apagarla, la dejas en modo suspensión es suficiente.
Igualmente tienes la opción de usar el móvil como servidor web y no tener que usar el pc.
Que yo sepa, solo se puede con disco/USB esterno y en formato fat/exfat. Por FTP aún no hay nada, pero quién sabe si en un futuro se podría.
Esto de la scene se toma su tiempo.
Pd: será por la carpeta que has usado al crear la web, en la versión del móvil si salen