Casi todas las distros son similares en lo que buscas.
Ve por debian netinstall que es sencilla, piensa si quieres que el servidor sea con interfaz grafica con un entorno de escritorio o sin entorno de escritorio usando solamente la terminal que es lo ideal.
Importante, la terminal de linux es muy poderosa, es ahí donde radica su potencial, la interfaz grafica es secundario en un servidor.
Dices que lo quieres para servidor, es importante saber si es solo en red local o si también lo quieres en internet.
- Si lo quieres solo en red local basta con instalar el servicio de Samba para acceder a la carpeta compartida, también instalar algo como MiniDLNA para compartir por ejemplo películas con portadas y todo eso si son SmartTV.
- Otra es usar Syncthing para crear copias exactas de los archivos en cada uno de los dispositivos asociados.
- Si deseas que sea accedido por internet, lo recomendable es preguntar y solicitar a tu ISP, el proveedor de internet, una IP pública estática y luego pedir que la IP local de tu servidor este direccionada a la DMZ del router, luego solo se configura el servidor con los firewall y demás, no es complicado la verdad.
- En este caso de acceder por internet, puedes usar la VPN o si prefieres algo más interesante, usar Nextcloud o similar, incluso puedes configurar tu propio servicio de hosting para tener un sitio web, servidor de correo, etc.
Las posibilidades que da GNU/Linux (usando la terminal claro esta) son enormes.
Cuentas que quieres hacer y aquí te ayudamos, también podemos reunirnos por telegram se deseas.
Es todo por ahora.