Lo que buscas es un nas, yo tengo un synology 918+ (barato no es), existen modelos mas economicos, es lo mas seguro para tu datos en plan economico y practico, si no sabes nada de un nas emperare por lo basico,
NAS, traducido viene a decir, Almacenamiento en Red, basicamente se conecta tu router y TODO lo que hagas con el va a traves de red (con el movil, el portatil, La tv con "smart tv".
-Basicamente al conectarlo y ponerle 2 o mas discos (recomiendo minimo dos para que el propio NAS hag una copia de un disco en el otro y en caso de fallo mecanico es uno de los disco se pueda autorecuperar los datos cambiendo el disco jodido por uno nuevo TODO LO HACE AUTOMATICAMENTE), a treves de aplicaciones en el movil o entrando directame en un direccion tipo
http://www.synology.me/MiNas, (MiNas es un mombre personalizable) podrias ver tus datos desde cualquier parte del mundo o subir fotos nuevas estes donde estes.
-Tiene mas opcions como servidor de descargas (emule, torrent, descargas direnctas).
-Tiene aplicaciones para que automaticamente Todos los dias o instantaneo hago una copia de seguridad de tus fotos/videos/archivos, ya sea del movil o desde tu ordenador, por lo que no te tienes que preocupar de guardar las cosas.
-Otra opcion interesante es el uso de VIDEODS es una aplicacion para movil o ordenador, para ver tus peliculas que tengas en el NAS, tambien te las muestra directamente en un tv que tenga smartv, seleccionas el video que quieres ver y listo.
-Como te he dicho antes el acceso es por internet asi que tiene la opcion de crear una pagina web y usarlo de servidor web, si sabes lo que es docker (una pasado lo bien que funciona) podrias montar casi cualquier cosa (desde un servidor de teamspeak, un servidor minecraft, para domotica con domoticz, bases de datos, basicamente con estos cacharros el limite es tu imaginacion, no ha limite alguno (limites razonables!).
HAy modelos economicos y muy utiles, y los discos que le pongas te recomiendo que por lo menos le pongas dos hdd mecanico de wd red , por le consumo de luz no te preocupes mucho consumiendo 20W hora, que tendrais que estar a tope todo el dia consumiria 8 centimos al dia, 29€ al año, asi que si le ponemos un consumo medio de un 30% de uso (mi nas se pasa el dia en espera con los discos apagados) con 10-15€ harias el apaño