Por poder puede ser muchas cosas. El botón de la torre que esté estropeadillo, la fuente que esté en las últimas o la placa base (que sería la peor opción) que también esté en las últimas, pero ya te digo, pueden ser muchas cosas... Yo me inclinaría más a fuente de alimentación o al botón, ¿Qué fuente de alimentación tienes?
Si puedes rescatar los archivos, conectas el disco duro en otro PC y a la carpeta de usuario le das permisos del usuario del pc donde lo has conectado y con eso y algo de paciencia los sacas sin mayor problema (si el disco duro está bien claro).