Si tienes un router, y la 360 la tienes conectada al router no hace falta que tengas ningun pc encendido ya que el que de verdad tiene la salida a inet es el router , no los pc's.
Por lo que dices tienes puestas las ip's manualmente , pues tienes que buscar una ip libre que no este usada por un pc y que pertenezca al rango de red que tienes, ejemplo, si la ip de un pc es 192.168.1.4 tendras que elegir una del tipo 192.168.1.X donde X sera un numero desde el 1 al 255 y que no este usado en otro pc y luego poner en gateway (puerta de enlace predeterminada) la ip del router en tu 360.
Si por contra tienes un modem, y este modem lo tienes conectado a un pc lo que tienes que hacer es conectar la 360 por ethernet al pc donde tengas conectado el modem, compartir la conexion que tienes en el pc y por supuesto no apagar ese pc, por que si no la 360 no tendra salida a inet, ademas de configurar las ip's como te puesto antes, la unica diferencia es que en este caso el gateway es la ip del pc al que tienes conectado el modem.
A ver si das con ello, si no ,ya sabes postea haber si te podemos echar una mano.