Con la librería javascript jquery mismamente. Algo tal que:
Tienes una pagina mipagina.html (en la que cargas jquery, claro)
En el evento document ready de jquery haces una llamada ajax en segundo plano (get, post, y con los datos de ese formulario del que hablas).
Esta llamada obtiene una respuesta (un documento html, xml...). Procesas esta respuesta desde jquery (por ejemplo, buscando todos los <p class="result">.....</p> y transformando cada uno de ellos en lo que tu quieras, ejemplo <div class="customresult">.....</div>)
En funcion de tu formulario, petición y resultados, cada caso es diferente, pero hay cientos de ejemplos / tutoriales sobre esto.