Yo lo que entiendo es:
Nunca es pronto... Significa que hay que cuidarse siempre, desde ya.
Nunca es tarde... Significa no que hay que cuidarse, sino que hay que empezar a cuidarse, es decir, alguien que no se ha cuidado durante toda su vida o un periodo de su tiempo tiene que empezar a cuidarse.
Además, para cambiar el sentido de esa frase no tienes que cambiar "tarde" por "pronto", sino "nunca" por "siempre".