Existe alguna manera de que cuando cierres la tapa del MacBook se siga emitiendo señal, supongo que con Caffeine o algún programa del estilo, nunca lo he probado.
Lo de que se te ven franjas negras, posiblemente sea problema de tu pantalla, que tengas que cuidar las proporciones. A mi lo que me pasa es que por ejemplo en una televisión Sony, cuando conecto mi equipo no se ven franjas por ninguna parte, pero sin embargo no se ve la barra de herramientas, y eso es cuestión de la pantalla.
Sobre las resoluciones, me extraña mucho, ya que lo he probado en televisiones viejas y funciona bien a 1080p con un adaptador pedido a china y un cable HDMI pedido a china, por lo que toquetea por ahí porque probablemente puedas acabar poniéndolo a 1080.
Y no es que sea una basura, yo uso un monitor y estoy maravillado con la salida de video externa, prueba a jugar con los perfiles de imagen de la pantalla que seguro que podrás estirarla y quitar los márgenes negros.
