Voy a intentar explicarte unos cuantos conceptos a ver si soy capaz de dejarte las cosas un poco más claras.
Cuando un trabajador empieza una relación laboral con una empresa, lo hace en base a unos acuerdos de funciones a desempeñar y unos horarios, que llevarán un salario acorde a la categoría profesional de esas funciones, y a su vez todas estas condiciones deben de estar de acuerdo a lo que marca la Ley y el convenio colectivo de aplicación.
Una vez teniendo todo esto claro, todos los cambios que se quieran hacer a esas condiciones de horarios, funciones y salarios deben acordarse voluntariamente por ambas partes. Evidentemente, si la empresa te quiere subir el sueldo, no hace falta tu consentimiento, puesto que se supone que estás de acuerdo. Lo que quiero decir es que los derechos que tienes consolidados no te los pueden quitar porque ellos quieran.
Tu salario te será remunerado normalmente mes a mes, acompañado de un recibo justificativo (la nómina) donde se detallen todos los conceptos salariales que devengas y todas las deducciones que te son aplicadas. De todos estos conceptos, puede que existan algunos que en vez de cobrarlos mes a mes, los cobres cada tres meses, cada seis o cada siete semanas, eso es indiferente (es el caso de las pagas extras; si las cobras prorrateadas, pues entonces ya no te las tienen que pagar cada x tiempo). Además, vas generando derecho a vacaciones con el paso del tiempo.
Entonces, si por la razón que sea (despido, fin de contrato, baja voluntaria, etc.) se termina la relación laboral, la empresa y el trabajador deben quedar saldados en cuanto a obligaciones y derechos, es decir, el trabajador tiene que haber disfrutado todas sus vacaciones y haber cobrado todo lo que le corresponde. Esto se hace mediante otro recibo justificativo (es decir, otra nómina) que se llama finiquito. Aquí se incluirán las pagas extras pendientes de cobrar y las vacaciones no disfrutadas, o se descontará el exceso de vacaciones. Además, se incluirá una penalización en caso de que falte preaviso por alguna de las dos partes.
Luego ya, dependiendo de cuál sea la causa del fin de la relación laboral, puede que al trabajador le corresponda una indemnización de ocho días por año trabajado (fin de contrato temporal), veinte días por año trabajado (despido objetivo), treinta y tres días por año trabajado (despido objetivo declarado improcedente por un Juez en un contrato indefinido de fomento), o cuarenta y cinco días por año (despido declarado improcedente).
El finiquito le corresponde a todo el mundo, independientemente de la causa del fin de la relación laboral. La empresa está obligada a documentar todo en tiempo y forma, y además está obligada a entregar al trabajador otro documento, que se llama "certificado de empresa", en el que se indicarán los datos de la empresa, del trabajador, de la fecha del fin de la relación laboral, el motivo por el que esta relación ha finalizado, y una tabla con las cotizaciones a la Seguridad Social de los últimos 180 días del contrato. Además, si el contrato ha sido a tiempo parcial, hay otra tabla donde se detallará la jornada semanal del trabajador.
Este documento es completamente necesario para poder tramitar la prestación por desempleo, puesto que se utiliza para, primero, determinar si se tiene derecho a cobrar el paro y, segundo, para determinar la cuantía de la prestación.
Con todo esto, y adaptado a tu caso, para cambiar el contrato a media jornada, se necesita de tu permiso en forma de acuerdo firmado por ambas partes. A partir de ese acuerdo cotizarás por la mitad, por lo que si al final te echan a los seis meses, te correspondería una prestación de desempleo de la mitad de lo que te correspondería ahora. En cuanto a la duración de la prestación, dependerá de la distribución semanal de la jornada; si se trata de trabajar cuatro horas de lunes a viernes, la duración de la prestación sería igual que si estuvieras trabajando a jornada completa (aunque, repito, cobrando la mitad).
En cuanto a lo que haya firmado tu compañero, es un problema exclusivamente de él y de sus jefes, no tiene nada que ver contigo, así que no te cuenten milongas.