No dices la zona de Barcelona en la que estas, algo que seria util saber para recomendarte mejor, pues es una ciudad muy grande y si solo estas unos dias no te dara tiempo a verlo todo. Aún así, estos son a mi parecer los sitios que no te puedes perder:
ZONA DEL MAREMAGNUM, tienes un centro comercial por si quieres hacer unas compras, el cual esta abierto todos los dias de la semana, y ademas esta al lado del puerto de Barcelona y la estatua de Colón. Como dato, dentro de la estatua hay un ascensor en el que tienes que pagar si quieres subir arriba del todo para ver una vista panorámica del puerto y del maremágnum.
PLAZA ESPAÑA, también hay otro centro comercial en la que fue una plaza de toros, pero si no te sobra el presupuesto no te lo recomiendo pues es caro. Desde plaza España puedes ir andando hasta el MNAC y el Palau Sant Jordi.
DISTRITO DE SARRIÀ-SANT GERVASI, donde están varias facultades juntas, la Diagonal, el Palau Reial que es la que fue la residencia de los Reyes a primeros del siglo pasado, el Camp Nou...
Para desplazarte, lo mejor el bus y el metro.