Problema con juegos Arcade sin conexión a Red

Bueno, os cuento mi problema, el cual espero me podais ayudar a resolverlo.

Hace algún tiempo, tenía una Xbox 360 con unos cuantos juegos Arcade que compre en el Bazar. La consola fue vendida y ahora he vuelto a tener otra. Me he vuelto a descargar los juegos que tenía por aquel entonces y me funcionan perfectamente, siempre y cuando este conectado a Internet. En el momento que enciendo la consola y no estoy conectado a la red, los juegos me siguen apareciendo, pero en su versión demo y no puedo jugar a la versión completa, la cual si puedo disfrutar si estoy conectado a Internet.

Mi duda y pregunta: ¿Es normal esta situación?.

Para más datos, comentar que los juegos fueron comprados cuando era usuario Gold y ahora no lo soy, por si esto tubiera algo que ver.

Gracias por la información facilitada.

SaluDOS.