Voy a intentar explicarte cómo lo he resuelto yo. En este tipo de problemas siempre viene bien empezar por reducir las dimensiones y sacar la regla subyacente.
El problema inicial nos impone dos condiciones:
Número de resultados de la quiniela (n) = 14
Número de filas igual a 2 (m) = 3
Vamos a reducirlo a casos más sencillos:
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CASO 1
Número de resultados de la quiniela: n = 2
Número de filas igual a 2: m = 1
En este caso, las soluciones posibles son:
Caso primer resultado igual a 2: (2,1), (2,x)
Caso segundo resultado igual a 2: (1,2), (x,2)
En total tenemos 4 resultados posibles.
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CASO 2
Número de resultados de la quiniela: n = 3
Número de filas igual a 2: m = 1
En este caso, las soluciones posibles son:
Caso primer resultado igual a 2: (2,1,1), (2,1,x), (2,x,x), (2,x,1)
Caso segundo resultado igual a 2: (1,2,1), (x,2,1), (x,2,x), (x,2,1)
Caso tercer resultado igual a 2: (1,1,2), (1,x,2), (x,x,2), (x,1,2)
En total tenemos 12 resultados posibles.
Yo con estos dos casos ya he llegado a la solución, pero considero ilustrativo ver otro caso porque hasta ahora solo hemos jugado variando el número de resultados y no el de filas igual a 2. Por ello...
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CASO 3
Número de resultados de la quiniela: n = 3
Número de filas igual a 2: m = 2
Caso primer y segundo resultado igual a 2: (2,2,1), (2,2,x)
Caso primer y tercer resultado igual a 2: (2,1,2), (2,x,2)
Caso segundo y tercer resultado igual a 2: (1,2,2), (x,2,2)
En total tenemos 6 resultados posibles.
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¿Qué hemos podido observar? Lo primero es que al forzar que haya un número de casos concretos igual a 2 ya no nos estamos moviendo entre 3 resultados posibles en las demás filas, sino única y exclusivamente entre dos: el 1 y la x. Así que el número de casos posibles tiene que tener relación con el número de filas que quedan libres que no son iguales a dos, es decir:
n - m
Como, además, esas filas solo van a tener dos resultados posibles (1 y x) y sabemos que importa el orden en que aparecen, estamos en una variación con repetición de esos dos resultados posibles sobre el total de casos, n - m:
2^(n-m)
Ahora bien, solo estamos a la mitad de camino. Para empezar, con esa expresión no obtenemos en ninguno de nuestros casos la solución, dado que:
CASO 1: n = 2, m = 1 --> 2^(2-1) = 2
CASO 2: n = 3, m = 1 --> 2^(3-1) = 4
CASO 3: n = 3, m = 2 --> 2^(3-2) = 2
Pero sí podemos ver que multiplicando en todos los casos por un número, llegamos:
CASO 1: 2*2 = 4
CASO 2: 4*3 = 12
CASO 3: 2*3 = 6
Así que nos queda ver por qué en el primer caso había que multiplicar por 2, en el segundo por 3 y en el último por 3 también. Si lo pensamos bien, cuando hemos hecho el cálculo de las variaciones no hemos contado que esas filas pueden ordenarse de muchas maneras. ¿Cuántas? Pues en el caso 1, solo pueden ordenarse de dos maneras, en el caso 2, de tres, y en el caso 3, también de tres. ¡Vaya, justo los números por los que hay que multiplicar!
Así que parece que esa es nuestra respuesta. ¿De cuántas formas puedo ordenar (n-m) filas (las que no van a tener un 2) entre n resultados? Es una combinación sin repetición de n sobre (n - m). Así que nuestra fórmula final es:
Número de casos posibles = 2^(n-m) * Combinación(n, n-m)
Aplicado al caso que nos pedían:
Número de casos posibles = 2^(14-3) * Combinación(14,11) = 745 472
Aclaro: realmente no hace falta hacer casos ni montar tanta parafernalia, solo hace falta entender lo que realmente está pasando, pero a mí personalmente me cuesta un mundo sin ponerme ejemplos pequeños. He intentado desgranar aquí el proceso mental que he seguido, espero haberme sabido explicar y que te sirva de ayuda.
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