En teoría los dos adaptadores llevan el mismo voltaje (5.2V), lo único que difiere es la intensidad de alimentación, que en el caso del adaptador de la ds normal es más pequeño del de la lite con lo que en todo caso tardaría más en cargarse.
En el cable de la lite el rojo es el positivo y la malla que tiene alrededor es el negativo, con lo que te debería funcionar, pero ten mucho cuidado no vaya a ser que al cortar el cable o algo hayas unido los dos en algún punto y eso puede joder los fusibles de la entrada de la consola, con lo que la consola ni encendería.
No se que puede estar pasándote ahi, pero en teoría debería ser tan simple como conectar el negro a la malla y el rojo al rojo. Por si acaso se te está ocurriendo cambiar el orden, no lo hagas, que pasaría lo que te digo casi seguro.