[PROBLEMA] MacBook Air no carga/enciende con normalidad

Buenas, tengo un problema con un MacBook Air 13" 2008 (el primer modelo que salió). He estado unos 4-5 meses sin utilizarlo (cuando lo usé por primera vez funcionaba perfectamente), y hoy, al ir a utilizarlo ha presentado los siguientes síntomas:

Pulso el botón y no enciende, supongo que porque no tenía batería, y le conecto la fuente de alimentación... y sin apretar el botón de encendido, el ordenador se enciende solo. Muestra una fecha y hora que no corresponde con la actual, supongo que por haber estado sin batería... Pero lo mosqueante es que me pone "La batería no se está cargando"... al rato de estar encendido (3-4 min) de repente se apaga. Sin que haya ejecutado ningún programa ni tocado nada...

Vuelvo a encender y sucede lo mismo... la luz de la fuente de alimentación se enciende naranja, pero indica que no se está cargando... intento arrancar en modo diagnóstico de hardware pero no entra en el modo... He apagado y vuelto a encender un par de veces y a veces aparece el mensaje de "La bateria no se esta cargando" y otras veces aparece una cruz "X". Lo que me mosquea es que si desconecto y conecto la fuente de alimentación, el ordenador se enciende sin apretar al botón de encendido...

Es cierto que el conector de la fuente de alimentación está un poco suelto, se desunió la pieza cilíndrica de metal y lo pegué con una cinta, hace tiempo, y me ha funcionado sin problema... pero yo ya no sé si el problema está en la batería... la fuente... las dos cosas.. o hay algo más. No tengo posibilidad de probar con otra fuente, salvo comprando una, claro está... pero antes de ponerme a comprar cosas, dejo esto aquí por si a alguien le ha pasado algo parecido, o puede darme su opinión sobre lo que le puede estar pasando...

Gracias de antemano y un saludo