No cuentas muchos detalles de la configuracion, lo primero que deberías hacer es decir qué gráfica estás usando, qué proyector, si tienes gráfica integrada y discreta o sólo discreta o sólo integrada, si las conexiones HDMI y DVI pertenecen a la misma gráfica, cuál es la configuración: monitor conectado a la vez que el proyector o no, con qué tipo de cable, etc, lo que sea para que nos hagamos una composición de lo que tienes y no especulemos con lo que podría ser.
Puede suceder que tengas el monitor y el proyector enchufados a la vez, y en configuración de clonación de pantalla, y que la resolución del monitor prevalezca, y que el proyector no pueda con ella.
Puede ser que tengas el HDMI en gráfica integrada y el DVI en gráfica discreta, y no siempre se activan las dos a la vez (cuando tienes instalada una discreta, la BIOS puede desactivar la integrada).
Lo mejor que puedes hacer es apagar el ordenador, desconectar todos los cables de vídeo excepto el HDMI del proyector. Luego enciendes el ordenador, y automáticamente te habilitará la salida que corresponda. Ahí ya deberías ver los mensajes POST de la BIOS, y cuando entres en Windows podrás ver la imagen del SO, siempre y cuando tengas los drivers instalados.
Saludos.
