Yo tuve la misma idea pero con un VHS. Monté una placa que tenía por ahí sin uso, un 775, una fuente de estas pequeñitas que también tenía por ahí, y entra a la perfección. Lo bueno de la xbox 1 es que es muy tocha
Ten cuidado con el tema gráfica, mira a ver si la xbox1 tiene la altura idónea para que se pueda alojar dentro una gráfica de las de perfil bajo (en mi vhs no cabría, salvo que la tumbase, lo cual quedaría un poco cutreiro). Otra opción es que compres una placa con gráfica integrada, depende de para qué uses el equipo. Si es para películas solamente... te sirve cualquier micro medianamente moderno y una gráfica externa algo vieja (tampoco mucho mucho), y 1080p con una calidad aceptable va guay (en h264 eso sí, porque en 265 la cosa cambia un poco). Mi VHS monta un Pentium 4 en 775 y probé una 9400GT con buenos resultados.
Lo malo es el calor, ponle buena ventilación porque va a caldearse bastante. Otra opción sería usar una raspberry, quizás te salga mejor. Depende de qué tengas pensado hacer en ese equipo, porque si es para "media center" una raspberry puede ser buena opción (una rpi3 o incluso una rpi2, aunque habría que ver el tema del h265 si te interesa).
Además con rpi probablemente podrías hasta meter una lectora de DVD (fuente estándar y adaptador ide o sata a usb). Que aunque no se use mucho, yo pensé en hacerlo en mi VHS, por si algún día se quiere ver alguna película en dvd, nunca está de más
EDIT: acabo de leer que vas a usar el emulador pcsx2, entonces lo de la rpi quizás no sea tan buena idea, y todo lo que dije de reproducir vídeos y tal carece de sentido
pero eso, busca una fuente pequeñita pero que soporte todo el hard que le vayas a montar (por ahí hay calculadoras de qué fuente necesitas para tales combinaciones de hardware, no sé cuán precisas son pero pueden servirte para hacerte una idea), y meterle una ventilación potable, y no debería haber problemitas.