Prueba a ver si algun juego que tenga modo online te funciona.
Sobre que la consola sea una v3 no tiene nada que ver.
La mia tambien es muy vieja, no se ahora mismo que modelo es, pero vamos, que es la que venia con el pack del final fantasy X, y funciona bien.
Sobre que sea el adaptador de red, pues podria ser, pero si te hace una parte del test bien, quiere decir que si que envia y recibe, con lo que no se que problema podria tener.
Podrias pobrar (si puedes), a conectarla a otra conexion a internet, a la de un amigo o algo, y ver si la ps2 con el cd del adaptador de red y la conexion del amigo te funciona. Si lo pruebas y no te funciona, pues entonces es que esta jodido el adaptador de red, porque sino no se me ocurre ninguna otra opcion.